Descobrindo a natureza das raízes de uma E. Q. usando o discriminante

Table of Contents:

1. Introdução 🌟
2. O que são equações quadráticas?
3. Encontrando as raízes de uma equação quadrática
4. Determinando a natureza das raízes 4.1. Caso 1: Discriminante positivo e quadrado perfeito 4.2. Caso 2: Discriminante positivo e não quadrado perfeito 4.3. Caso 3: Discriminante igual a zero 4.4. Caso 4: Discriminante negativo
5. Exemplos resolvidos 5.1. Exemplo 1: x² - 5x + 6 = 0 5.2. Exemplo 2: 2x² + 3x + 1 = 0 5.3. Exemplo 3: 4x² - 12x + 9 = 0 5.4. Exemplo 4: -x² + 4x - 4 = 0 5.5. Exemplo 5: 3x² + 2x + 5 = 0
6. Conclusão
7. Perguntas Frequentes (FAQ)

Introdução 🌟

Bem-vindo ao nosso guia de resolução de equações quadráticas! Neste artigo, vamos explorar em detalhes como encontrar as raízes de uma equação quadrática e determinar a sua natureza. As equações quadráticas são muito importantes na matemática e têm diversas aplicações na vida cotidiana. Entender como solucioná-las é essencial, pois elas aparecem em muitos problemas e situações do mundo real. Vamos começar!

O que são equações quadráticas?

As equações quadráticas são equações polinomiais de segundo grau, ou seja, são equações em que a incógnita (geralmente representada por x) está elevada ao quadrado. A forma geral de uma equação quadrática é: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos e "x" é a incógnita.

Encontrando as raízes de uma equação quadrática

Para encontrar as raízes de uma equação quadrática, podemos utilizar a fórmula conhecida como "fórmula quadrática" ou "fórmula de Bhaskara". Essa fórmula é dada por:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Substituindo os valores dos coeficientes "a", "b" e "c" na fórmula, obtemos as raízes da equação.

Determinando a natureza das raízes

A natureza das raízes de uma equação quadrática está relacionada ao valor do discriminante, representado por Δ (delta). O discriminante é calculado usando a fórmula:

Δ = b² - 4ac

Vamos analisar os diferentes casos possíveis:

Caso 1: Discriminante positivo e quadrado perfeito

Se o discriminante for um número positivo e um quadrado perfeito, isso significa que a equação possui duas raízes reais, racionais e diferentes. Em outras palavras, as soluções são números exatos, podendo ser inteiros ou fracionários.

Caso 2: Discriminante positivo e não quadrado perfeito

Se o discriminante for um número positivo, mas não for um quadrado perfeito, isso indica que a equação possui duas raízes reais, irracionais e diferentes. As soluções serão números irracionais, geralmente representados pelo símbolo de radical (√).

Caso 3: Discriminante igual a zero

Quando o discriminante for igual a zero, isso significa que a equação possui apenas uma raiz real. As soluções serão iguais, ou seja, a equação possui apenas uma solução.

Caso 4: Discriminante negativo

Quando o discriminante for um número negativo, não haverá raízes reais para a equação. Portanto, a equação não possui soluções reais.

Agora que compreendemos os diferentes casos, vamos resolver alguns exemplos para ilustrar o processo.

Exemplos resolvidos

Aqui estão alguns exemplos para aplicarmos os conceitos discutidos anteriormente.

Exemplo 1: x² - 5x + 6 = 0

Neste exemplo, temos a equação x² - 5x + 6 = 0. Vamos calcular o discriminante e determinar a natureza das raízes:

a = 1 b = -5 c = 6

Δ = b² - 4ac Δ = (-5)² - 4 1 6 Δ = 25 - 24 Δ = 1

Como o discriminante Δ é um número positivo e um quadrado perfeito, as raízes são reais, racionais e diferentes.

Exemplo 2: 2x² + 3x + 1 = 0

Neste exemplo, temos a equação 2x² + 3x + 1 = 0. Vamos calcular o discriminante e determinar a natureza das raízes:

a = 2 b = 3 c = 1

Δ = b² - 4ac Δ = (3)² - 4 2 1 Δ = 9 - 8 Δ = 1

Assim como no exemplo anterior, o discriminante Δ é um número positivo e um quadrado perfeito. Portanto, as raízes são reais, racionais e diferentes.

Exemplo 3: 4x² - 12x + 9 = 0

Neste exemplo, temos a equação 4x² - 12x + 9 = 0. Vamos calcular o discriminante e determinar a natureza das raízes:

a = 4 b = -12 c = 9

Δ = b² - 4ac Δ = (-12)² - 4 4 9 Δ = 144 - 144 Δ = 0

Desta vez, o discriminante Δ é igual a zero. Isso significa que a equação possui apenas uma raiz real.

Exemplo 4: -x² + 4x - 4 = 0

Neste exemplo, temos a equação -x² + 4x - 4 = 0. Vamos calcular o discriminante e determinar a natureza das raízes:

a = -1 b = 4 c = -4

Δ = b² - 4ac Δ = (4)² - 4 (-1) (-4) Δ = 16 - 16 Δ = 0

Mais uma vez, o discriminante Δ é igual a zero. Portanto, a equação possui apenas uma raiz real.

Exemplo 5: 3x² + 2x + 5 = 0

Por fim, vamos resolver a equação 3x² + 2x + 5 = 0:

a = 3 b = 2 c = 5

Δ = b² - 4ac Δ = (2)² - 4 3 5 Δ = 4 - 60 Δ = -56

Neste exemplo, o discriminante Δ é um número negativo. Portanto, a equação não possui raízes reais.

Conclusão

Neste guia, aprendemos como resolver equações quadráticas e determinar a natureza das suas raízes usando o discriminante. As equações quadráticas são fundamentais na matemática e têm uma ampla gama de aplicações práticas. É essencial compreender os conceitos discutidos para resolver problemas reais e acadêmicos. Lembre-se de praticar resolvendo diferentes exemplos e exercícios para fortalecer seu domínio nesse assunto.

Perguntas Frequentes (FAQ)

Q: O que são equações quadráticas? A: Equações quadráticas são equações polinomiais de segundo grau, onde a incógnita está elevada ao quadrado.

Q: Como determinar as raízes de uma equação quadrática? A: As raízes de uma equação quadrática podem ser determinadas usando a fórmula de Bhaskara ou a factorização.

Q: O que é discriminante? A: O discriminante é um valor numérico obtido a partir dos coeficientes de uma equação quadrática que nos diz qual é a natureza das suas raízes.

Q: O que significa quando o discriminante é negativo? A: Quando o discriminante é um número negativo, a equação quadrática não possui raízes reais.

Q: Como encontrar a natureza das raízes de uma equação quadrática? A: Para encontrar a natureza das raízes, basta calcular o discriminante e analisar seu valor.

Q: Quais são os diferentes casos possíveis para a natureza das raízes? A: Os diferentes casos possíveis são: duas raízes reais, racionais e diferentes; duas raízes reais, irracionais e diferentes; uma raiz real; nenhuma raiz real.