Révision de géométrie pour l'été - Niveau 8ème

Table of Contents

1. Introduction
2. Les transformations géométriques
   • 2.1 Réflexion
   • 2.2 Translation
   • 2.3 Dilation
   • 2.4 Rotation
3. Le plan de coordonnées
4. Triangle A et triangle B
   • 4.1 Trouver la séquence de transformations
   • 4.2 Analyse de chaque choix
5. Rectangle A'B'C'D' et rectangle ABCD
   • 5.1 Trouver la séquence de transformations
   • 5.2 Analyse de chaque choix
6. Triangle ABC et son agrandissement
   • 6.1 Trouver les coordonnées des sommets
   • 6.2 Analyse des réponses
7. Conclusion

Les transformations géométriques

Les transformations géométriques sont des opérations qui modifient la forme ou la position d'une figure géométrique. Elles comprennent la réflexion, la translation, la dilation et la rotation. Ces transformations sont largement utilisées en géométrie pour étudier les propriétés des figures et résoudre des problèmes.

2. Les transformations géométriques

Les transformations géométriques sont des moyens de modifier la forme ou la position d'une figure géométrique. Il existe plusieurs types de transformations, notamment la réflexion, la translation, la dilation et la rotation.

2.1 Réflexion

La réflexion est une transformation qui symétrise une figure par rapport à un axe donné. Par exemple, une réflexion par rapport à l'axe des x inverse les signes des coordonnées y de chaque point.

2.2 Translation

La translation est une transformation qui déplace une figure d'une certaine distance dans une direction donnée. La figure est déplacée sans changer sa forme ou son orientation.

2.3 Dilation

La dilation est une transformation qui agrandit ou réduit une figure par rapport à un centre donné en utilisant un facteur d'échelle. Une dilation avec un facteur d'échelle supérieur à 1 agrandit la figure, tandis qu'un facteur d'échelle inférieur à 1 la réduit.

2.4 Rotation

La rotation est une transformation qui tourne une figure autour d'un point ou d'un axe donné. La figure reste dans le même plan mais change sa position angulaire.

3. Le plan de coordonnées

Le plan de coordonnées est un système qui permet de représenter des points dans un espace bidimensionnel en utilisant des paires de nombres appelées coordonnées. Il se compose de deux axes, l'axe des x et l'axe des y, qui se croisent en un point appelé l'origine. Les coordonnées d'un point sont indiquées sous la forme (x, y), où x est la distance horizontale par rapport à l'origine et y est la distance verticale.

4. Triangle A et triangle B

Le problème concerne les transformations du triangle A pour l'amener à sa forme congruente, le triangle B. Congruent signifie que les deux triangles ont la même forme et la même taille. Nous devons trouver la séquence de transformations qui peut mapper le triangle A sur le triangle B.

4.1 Trouver la séquence de transformations

Pour trouver la séquence de transformations, nous examinerons chaque choix proposé. Nous analyserons en détail chaque transformation pour voir si elle correspond au résultat attendu.

4.2 Analyse de chaque choix

A. Réflexion par rapport à l'axe des x, puis réflexion par rapport à l'axe des y

Cette transformation peut être vérifiée en comptant les distances entre les points et en les comparant avec les coordonnées originales du triangle A. Après analyse, nous constatons que cette séquence de transformations ne correspond pas au triangle B.

B. Translation de huit unités vers le bas, puis réflexion par rapport à l'axe des y

En calculant les distances entre les points après la translation, nous remarquons que cette séquence ne correspond pas non plus au triangle B. Elle est donc incorrecte.

C. Réflexion par rapport à l'axe des x, puis translation de six unités vers la gauche

En analysant attentivement cette proposition, nous constatons que la réflexion par rapport à l'axe des x correspond à la configuration du triangle B. Ensuite, une translation de six unités vers la gauche est effectuée, ce qui positionne le triangle A sur le triangle B. Par conséquent, cette séquence de transformations est correcte.

5. Rectangle A'B'C'D' et rectangle ABCD

Dans cette partie, nous étudions les transformations du rectangle ABCD pour le transformer en son image similaire, le rectangle A'B'C'D'.

5.1 Trouver la séquence de transformations

Nous devons trouver la séquence de transformations qui peut mapper le rectangle ABCD sur le rectangle A'B'C'D'.

5.2 Analyse de chaque choix

A. Dilatation avec un facteur d'échelle de 0,5 centré à l'origine

Une dilatation avec un facteur d'échelle de 0,5 signifie que les coordonnées de chaque point doivent être multipliées par 0,5. En étudiant les coordonnées des ropoints après cette dilatation, nous constatons que cette séquence ne correspond pas au rectangle A'B'C'D'. Elle est donc incorrecte.

B. Réflexion par rapport à l'axe des y, puis dilatation avec un facteur d'échelle de 0,5

Après avoir analysé cette proposition, nous constatons que la réflexion par rapport à l'axe des y correspond à la configuration du rectangle A'B'C'D'. Ensuite, une dilatation avec un facteur d'échelle de 0,5 est effectuée, ce qui positionne le rectangle A'B'C'D' sur le rectangle ABCD. Par conséquent, cette séquence de transformations est correcte.

6. Triangle ABC et son agrandissement

Cette question concerne un triangle ABC qui est agrandi avec un facteur d'échelle de 2 par rapport au centre de dilation à l'origine. Nous devons trouver les coordonnées des sommets du nouveau triangle ABC.

6.1 Trouver les coordonnées des sommets

En multipliant chaque coordonnée par 2, nous obtenons les nouvelles coordonnées pour le triangle agrandi. Les nouvelles coordonnées des sommets du triangle ABC sont A(4, 4), B(8, 8) et C(-8, 4).

6.2 Analyse des réponses

En analysant chaque réponse proposée, nous trouvons que le choix B correspond aux nouvelles coordonnées calculées.

Conclusion

Les transformations géométriques sont des outils essentiels pour étudier les figures et leurs propriétés dans la géométrie. Elles permettent de modifier la forme ou la position d'une figure selon différentes séquences de transformations. Dans les exemples étudiés, nous pouvons observer que chaque séquence de transformations doit être analysée soigneusement pour trouver celle qui correspond à l'objectif donné.